Уровни фибоначчи как пользоваться

Использование уровней Фибоначчи

Основа построения уровней Фибоначчи — размер базового импульса, его величину принимают за 1 (или 100%). Внутренние уровни, меньше 100%, используют для определения точек входа по ожидаемым коррекциям, внешние, выше 100%, — для постановки целей.

Уровни Фибоначчи хорошо отрабатываются в сочетании с другими методами технического анализа:

  • уровнями поддержки и сопротивления;
  • свечными формациями;
  • техническими индикаторами.

Расчет окончания коррекций

Для определения коррекций с помощью уровней Фибоначчи выделяют основной импульс и предполагают, что цена при откате оттолкнется от одного из уровней, находящегося в рамках импульсного движения. Для прогнозирования ценовых движений используют чередование глубины коррекций. Коррекции менее 50% считают неглубокими, больше 50% — глубокими. Откаты свыше 76,2% могут свидетельствуют о возможном развороте тренда.

Пример определения зон для поиска точек входа:

  • 38,2% для неглубоких коррекций;
  • 61,8% для глубоких коррекций;
  • 50% — фактор определения глубины.

Ожидаемая глубина коррекции зависит от характера предыдущего импульса.

Постановка целей

При постановке целей с помощью уровней Фибоначчи используют предыдущее ценовое движение где 0% — его минимум, 100% — его максимум.

Примеры целей:

  • 128,6%, 161,8% — в ожидании продолжения движения;
  • 78,6%, 100% — при входах на глубоких коррекциях;
  • 200%, 300% — при выраженном трендовом движении.

Целевой уровень 161,8 % использует большинство трейдеров.

Происхождение

Страница Книги абака (лат. Liber abaci) Фибоначчи из Национальной центральной библиотеки Флоренции.
В правом блоке демонстрируется последовательность Фибоначчи.
Позиции от 0 до 12 обозначены тёмным цветом римскими цифрами, а значения красным цветом индо-арабскими цифрами

Последовательность Фибоначчи была хорошо известна в древней Индии, где она применялась в метрических науках (просодии, другими словами — стихосложении) намного раньше, чем стала известна в Европе.

Образец длиной n может быть построен путём добавления S к образцу длиной n-1, либо L к образцу длиной n-2; и просодицисты показали, что число образцов длиною n является суммой двух предыдущих чисел в последовательности. Дональд Кнут рассматривает этот эффект в книге «Искусство программирования».

На Западе эта последовательность была исследована Леонардо Пизанским, известным как Фибоначчи, в его труде «Liber Abaci» (1202). Он рассматривает развитие идеализированной (биологически нереальной) популяции кроликов, предполагая, что: изначально есть новорождённая пара кроликов (самец и самка); со второго месяца после своего рождения кролики начинают спариваться и каждый месяц производить новую пару кроликов; кролики никогда не умирают. Сколько пар кроликов будет через год?

  • В начале первого месяца есть только одна новорождённая пара (1).
  • В конце первого месяца по-прежнему только одна пара кроликов, но уже спарившаяся (1)
  • В конце второго месяца первая пара рождает новую пару и опять спаривается (2)
  • В конце третьего месяца первая пара рождает ещё одну новую пару и спаривается, вторая пара только спаривается (3)
  • В конце четвёртого месяца первая пара рождает ещё одну новую пару и спаривается, вторая пара рождает новую пару и спаривается, третья пара только спаривается (5)

В конце n {\displaystyle n} -го месяца количество пар кроликов будет равно количеству пар в предыдущем месяце плюс количество новорождённых пар, которых будет столько же, сколько пар было два месяца назад. Таким образом: F n = F n − 2 + F n − 1 . {\displaystyle F_{n}=F_{n-2}+F_{n-1}.}

Формула Бине

Формула Бине выражает в явном виде значение F n {\displaystyle F_{n}} как функцию от n:

F n = ( 1 + 5 2 ) n − ( 1 − 5 2 ) n 5 = φ n − ( − φ ) − n φ − ( − φ ) − 1 = φ n − ( − φ ) − n 2 φ − 1 , {\displaystyle F_{n}={\frac {\left({\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}-\left({\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}}{\sqrt {5}}}={\frac {\varphi ^{n}-(-\varphi )^{-n}}{\varphi -(-\varphi )^{-1}}}={\frac {\varphi ^{n}-(-\varphi )^{-n}}{2\varphi -1}},}

где φ = 1 + 5 2 {\displaystyle \varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}} — золотое сечение. При этом φ {\displaystyle \varphi } и ( − φ ) − 1 = 1 − φ {\displaystyle (-\varphi )^{-1}=1-\varphi } являются корнями характеристического уравнения x 2 − x − 1 = 0 {\displaystyle x^{2}-x-1=0} .

Из формулы Бине следует, что для всех n ⩾ 0 {\displaystyle n\geqslant 0} , F n {\displaystyle F_{n}} есть ближайшее к φ n 5 {\displaystyle {\frac {\varphi ^{n}}{\sqrt {5}}}} целое число, то есть F n = ⌊ φ n 5 ⌉ {\displaystyle F_{n}=\left\lfloor {\frac {\varphi ^{n}}{\sqrt {5}}}\right\rceil } . В частности, при n → ∞ {\displaystyle n\to \infty } справедлива асимптотика F n ∼ φ n 5 {\displaystyle F_{n}\sim {\frac {\varphi ^{n}}{\sqrt {5}}}} .

Формула Бине может быть аналитически продолжена следующим образом:

F z = 1 5 ( φ z − cos ⁡ π z φ z ) . {\displaystyle F_{z}={\frac {1}{\sqrt {5}}}\left(\varphi ^{z}-{\frac {\cos {\pi z}}{\varphi ^{z}}}\right).}

При этом соотношение F z + 2 = F z + 1 + F z {\displaystyle F_{z+2}=F_{z+1}+F_{z}} выполняется для любого комплексного числа z.

Тождества

Иллюстрация формулы для суммы квадратов первых n чисел Фибоначчи.

И более общие формулы:

  • F n + m = F n − 1 F m + F n F m + 1 = F n + 1 F m + 1 − F n − 1 F m − 1 {\displaystyle F_{n+m}^{}=F_{n-1}F_{m}+F_{n}F_{m+1}=F_{n+1}F_{m+1}-F_{n-1}F_{m-1}}
  • F ( k + 1 ) n = F n − 1 F k n + F n F k n + 1 {\displaystyle F_{(k+1)n}^{}=F_{n-1}F_{kn}+F_{n}F_{kn+1}}
  • F n = F l F n − l + 1 + F l − 1 F n − l {\displaystyle F_{n}^{}=F_{l}F_{n-l+1}+F_{l-1}F_{n-l}}
  • Числа Фибоначчи представляются значениями континуант на наборе единиц: F n + 1 = K n ( 1 , … , 1 ) {\displaystyle F_{n+1}=K_{n}(1,\dots ,1)} , то есть

F n + 1 = det ( 1 1 0 ⋯ 0 − 1 1 1 ⋱ ⋮ 0 − 1 ⋱ ⋱ 0 ⋮ ⋱ ⋱ ⋱ 1 0 ⋯ 0 − 1 1 ) {\displaystyle F_{n+1}=\det {\begin{pmatrix}1&1&0&\cdots &0\\-1&1&1&\ddots &\vdots \\0&-1&\ddots &\ddots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &1\\0&\cdots &0&-1&1\end{pmatrix}}} , а также F n + 1 = det ( 1 i 0 ⋯ 0 i 1 i ⋱ ⋮ 0 i ⋱ ⋱ 0 ⋮ ⋱ ⋱ ⋱ i 0 ⋯ 0 i 1 ) {\displaystyle \ F_{n+1}=\det {\begin{pmatrix}1&i&0&\cdots &0\\i&1&i&\ddots &\vdots \\0&i&\ddots &\ddots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &i\\0&\cdots &0&i&1\end{pmatrix}}} , где матрицы имеют размер n × n {\displaystyle n\times n} , i — мнимая единица.

  • Числа Фибоначчи можно выразить через многочлены Чебышёва:

F n + 1 = ( − i ) n U n ( − i 2 ) , {\displaystyle F_{n+1}=(-i)^{n}U_{n}\left({\frac {-i}{2}}\right),} F 2 n + 2 = U n ( 3 2 ) . {\displaystyle F_{2n+2}=U_{n}\left({\frac {3}{2}}\right).}

  • Для любого n,

( 1 1 1 0 ) n = ( F n + 1 F n F n F n − 1 ) . {\displaystyle {\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}}^{n}={\begin{pmatrix}F_{n+1}&F_{n}\\F_{n}&F_{n-1}\end{pmatrix}}.}

  • Следствие. Подсчёт определителей даёт

( − 1 ) n = F n + 1 F n − 1 − F n 2 . {\displaystyle (-1)^{n}=F_{n+1}F_{n-1}-F_{n}^{2}.}

  • F n + 1 = F n + 5 F n 2 + 4 ( − 1 ) n 2 {\displaystyle F_{n+1}={\frac {F_{n}+{\sqrt {5F_{n}^{2}+4(-1)^{n}}}}{2}}}

Свойства

  • Наибольший общий делитель двух чисел Фибоначчи равен числу Фибоначчи с индексом, равным наибольшему общему делителю индексов, то есть ( F m , F n ) = F ( m , n ) {\displaystyle (F_{m},F_{n})=F_{(m,n)}} . Следствия:
    • F m {\displaystyle F_{m}} делится на F n {\displaystyle F_{n}} тогда и только тогда, когда m {\displaystyle m} делится на n {\displaystyle n} (за исключением n = 2 {\displaystyle n=2} ). В частности, F m {\displaystyle F_{m}} делится на F 3 = 2 {\displaystyle F_{3}=2} (то есть является чётным) только для m = 3 k {\displaystyle m=3k} ; F m {\displaystyle F_{m}} делится на F 4 = 3 {\displaystyle F_{4}=3} только для m = 4 k {\displaystyle m=4k} ; F m {\displaystyle F_{m}} делится на F 5 = 5 {\displaystyle F_{5}=5} только для m = 5 k {\displaystyle m=5k} и т. д.
    • F m {\displaystyle F_{m}} может быть простым только для простых m {\displaystyle m} (с единственным исключением m = 4 {\displaystyle m=4} ). Например, число F 13 = 233 {\displaystyle F_{13}=233} простое, и его индекс 13 также прост. Обратное не верно, наименьший контрпример — F 19 = 4181 = 37 ⋅ 113 {\displaystyle F_{19}=4181=37\cdot 113} . Неизвестно, бесконечно ли множество чисел Фибоначчи, являющихся простыми.
  • Последовательность чисел Фибоначчи является частным случаем возвратной последовательности, её характеристический многочлен x 2 − x − 1 {\displaystyle x^{2}-x-1} имеет корни φ {\displaystyle \varphi } и − 1 φ {\displaystyle -{\frac {1}{\varphi }}} .
  • Отношения F n + 1 F n {\displaystyle {\frac {F_{n+1}}{F_{n}}}} являются подходящими дробями золотого сечения ϕ {\displaystyle \phi } и, в частности, lim n → ∞ F n + 1 F n = φ . {\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {F_{n+1}}{F_{n}}}=\varphi .}
  • Суммы биномиальных коэффициентов на диагоналях треугольника Паскаля являются числами Фибоначчи ввиду формулы F n + 1 = ∑ k = 0 ⌊ n / 2 ⌋ ( n − k k ) {\displaystyle F_{n+1}=\sum _{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor }{n-k \choose k}} .
  • В 1964 году Дж. Кон (J. H. E. Cohn) доказал, что единственными точными квадратами среди чисел Фибоначчи являются числа Фибоначчи с индексами 0, 1, 2, 12: F 0 = 0 2 = 0 {\displaystyle F_{0}=0^{2}=0} , F 1 = 1 2 = 1 {\displaystyle F_{1}=1^{2}=1} , F 2 = 1 2 = 1 {\displaystyle F_{2}=1^{2}=1} , F 12 = 12 2 = 144 {\displaystyle F_{12}=12^{2}=144} .
  • Производящей функцией последовательности чисел Фибоначчи является: x + x 2 + 2 x 3 + 3 x 4 + 5 x 5 + ⋯ = ∑ n = 0 ∞ F n x n = x 1 − x − x 2 {\displaystyle x+x^{2}+2x^{3}+3x^{4}+5x^{5}+\dots =\sum _{n=0}^{\infty }F_{n}x^{n}={\frac {x}{1-x-x^{2}}}}
  • Множество чисел Фибоначчи совпадает с множеством неотрицательных значений многочлена z ( x , y ) = 2 x y 4 + x 2 y 3 − 2 x 3 y 2 − y 5 − x 4 y + 2 y , {\displaystyle z(x,y)=2xy^{4}+x^{2}y^{3}-2x^{3}y^{2}-y^{5}-x^{4}y+2y,}

на множестве неотрицательных целых чисел x и y.

  • Произведение и частное двух любых различных чисел Фибоначчи, отличных от единицы, никогда не является числом Фибоначчи.
  • Период чисел Фибоначчи по модулю натурального числа n называется периодом Пизано и обозначается π(n). Периоды Пизано π(n) образуют последовательность: 1, 3, 8, 6, 20, 24, 16, 12, 24, 60, 10, 24, 28, 48, 40, 24, 36, … (последовательность A001175 в OEIS)
    • В частности, последние цифры чисел Фибоначчи образуют периодическую последовательность с периодом π(10)=60, последняя пара цифр чисел Фибоначчи образует последовательность с периодом π(100)=300, последние три цифры — с периодом π(1000)=1500, последние четыре — с периодом π(10000)=15000, последние пять — с периодом π(100000)=150000 и т. д.
  • Натуральное число N является числом Фибоначчи тогда и только тогда, когда 5 N 2 + 4 {\displaystyle 5N^{2}+4} или 5 N 2 − 4 {\displaystyle 5N^{2}-4} является квадратом.
  • Не существует арифметической прогрессии длиной больше 3, состоящей из чисел Фибоначчи.
  • Число Фибоначчи F n + 2 = F n + 1 + F n {\displaystyle F_{n+2}=F_{n+1}+F_{n}} равно количеству кортежей длины n из нулей и единиц, в которых нет двух соседних единиц. При этом F n + 1 {\displaystyle F_{n+1}} равно количеству таких кортежей, начинающихся с нуля, а F n {\displaystyle F_{n}} — начинающихся с единицы.
  • Произведение любых n {\displaystyle n} подряд идущих чисел Фибоначчи делится на произведение первых n {\displaystyle n} чисел Фибоначчи.
  • Число 0,112358132134… (после запятой записаны подряд идущие числа Фибоначчи) является иррациональным.

Оставьте комментарий